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Hi und Willkommen im Forum,

Akku:
Hmm, es wird schwierig werden einen passenden, guten Akku zu finden, ...
1. weil es seit Ewigkeiten keine neuen Originalakkus mehr gibt. Und die verfügbaren sind genauso alt wie das Handy und damit elektrisch gealtert und schwach.
2. weil man bei Nachbauten so gut wie nie weiß, was wirklich drin steckt. Außerdem scheinen sie ebenfalls uralt zu sein, weil sie ebenso seit Ewigkeiten nicht mehr produziert werden.

Aufgrund der Form und Größe des Akkus hätte man im Gehäuse genug Platz zum experimentieren. So könntest du alternative Akkus verbauen. Viele Hersteller, z.B. von Kameras, nutzen ähnliche Akkus mit drei und vier Pins (BSI u. BTemp). Vielleicht kann man hier noch fündig werden.
Alternativ kannst du dir selbst eine Stromversorgung kreieren oder einen Akkupack bauen (Achte auf Ladungstechnologie, Kapazität und BSI-Widerstand):
https://nokiaport.de/index.php?mid=5&pid=akkuersatz
https://nokiaport.de/index.php?mid=2&pid=akkutyp

Firmware-Update:
Es ist fraglich, ob sich der Aufwand für ein Update noch lohnt. Ab einer bestimmten Version v5.* wurden weitere Funktionen integriert, die man freischalten kann, so glaube ich einen Klingelton-Editor und ein paar Kleinigkeiten. So konnte man das 3310 auf den Funktionsumfang des 3315 heben.
Wenn das Telefon reibungslos funktioniert, würde ich mir den Aufwand gut überlegen. Für das Update wird definitiv ein Flasher-Interface benötigt, das an LPT angeschlossen wird. LPT ist heutzutage kaum mehr vorhanden und meist nur über Erweiterungskarten aufrüstbar.
Die Firmware-Pakete kann ich dir in allen Versionen anbieten.

Net monitor:
Der Net monitor lässt sich, wie du sagst, mit einem Datenkabel einfach aktivieren.
Datenkabel gibt es mit serieller Schnittstelle (COM-Port). Dieser lässt sich aber mit einem billigen USB-zu-Seriell Adapter betreiben. So emuliert man über USB eine serielle Schnittstelle:
https://nokiaport.de/index.php?mid=4&pid=fbustodku5
Es gibt aber auch schon Datenkabel für das alte 3310 mit USB-Anschluss. Ich bevorzuge COM, weil die meiste Software ausschließlich mittels COM arbeitet.
Falls du Glück hast, gibt es diese Kabel noch bei ebay oder als Restbestand in manchen Handy-Shops.

Es ist aber auch keine große Sache, dieses Kabel selbst zu bauen. Wichtig ist hier nur der Inverter/Pegelwandler (mittels 74HC04, MAX232, etc). Auch mittels AVR lässt sich eine Schnittstelle zum Telefon bauen.
Falls kein Stecker vorhanden ist, kann man mühelos die Dräht an die Kontaktflächen unter dem Akku klemmen oder leicht anlöten.

Ich hoffe ich konnte dir etwas weiterhelfen. Falls noch weitere Fragen bestehen... nur zu! Es ist eine Freude, sich mal wieder mit den guten alten Klassikern zu beschäftigen

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